证明与反击

第二次数学分析课上，维兰德教授点评作业。他站在讲台前，手里拿着几份作业样本。

“大部分同学完成了基础题目，但最后一题挑战题”他举起一份作业，“只有两位同学给出了完整解答。有趣的是，其中一份的解答极其简洁优美，用了柯西收敛准则的变形。”

他翻到作业封面：“露娜·诺伊曼。”

教室里响起窃窃私语。我感觉到目光聚集过来。

“诺伊曼小姐的解答。”维兰德教授将我的作业投影到黑板上，“她将原问题转化为函数序列的一致收敛性证明，然后构造了一个巧妙的控制函数，用到了阿贝尔变换和狄利克雷判别法的思想。这在本科生中很少见。”

他停顿，目光投向我：“能请你简要解释一下思路吗？”

我站起来，走到黑板前。维兰德教授递给我粉笔。

“原题是证明一个含参变量反常积分的连续性。”我边写边说，“常规做法需要分段估计，计算复杂。我注意到积分核可以看作一个函数序列的极限，于是考虑证明该函数序列在参数区间上一致收敛到极限函数。为此，我构造了辅助函数g(x)，利用阿贝尔变换将原积分转化为g(x)与另一个函数的乘积的积分，然后应用狄利克雷判别法的一致收敛版本。最后，一致收敛性保证了极限函数的连续性。”

我写下关键不等式，标注每一步的逻辑依据。教室里很安静，只有粉笔敲击黑板的声音。

“完毕。”我放下粉笔。

维兰德教授审视着黑板上的推导，缓缓点头：“思路清晰，技巧运用得当。这确实是本科阶段不常见的解法。诺伊曼小姐，你之前学过实变函数？”

“自学过一部分。”

“自学。”维兰德重复这个词，语气复杂。

我回到座位。下课后，几个男生围到讲台前询问问题。我收拾东西准备离开时，一个声音叫住了我。

“诺伊曼小姐。”

一个高个子男生走过来，他叫马丁·韦伯，他手里拿着自己的作业本。

“我也解出了最后一题。”他将作业本翻开，展示他的解法。那是传统的分段估计法，写了整整三页，密密麻麻的不等式，“我看了你的解法，很巧妙。但我想知道，你真的自己想到的吗？还是参考了某些研究生级别的资料？”

他的声音不大，但周围没离开的人听得清。他们停下了动作，看向我们。

“我自己想的。”我说。

马丁笑了笑“巧合的是，我叔叔是数学系的研究员，他上周正好和我讨论过类似的问题，用了阿贝尔变换的思路。而你是班上唯一一个解法如此，研究生风格，的人。这让我不得不怀疑，你是否......恰好接触过同样的资料？”

暗示明确，我在作弊。

教室里彻底安静了。维兰德教授已经离开，但助教还在整理讲义，他抬起头，看向我们。

你的解法用了标准的分段估计，共用了十七个不等式，我的解法用了五个核心步骤，得到的界是o(1/n)。不仅更简洁，而且更精确。”

马丁的脸微微发红：“那只能说明你参考的资料更高级，不能说明是你独立思考的。”

“那么，让我们现场测试一下。”我走向黑板，擦掉之前的推导，“请你提出一个类似的，但是非标准的问题。我来现场解答。如果我能用类似风格的简洁方法解决，是否就能证明我具备相应的思维能力？”

马丁愣住了。周围的学生们交换眼神，有人小声说：“这有点过分吧......”

“或者，”我继续说，“我可以指出你解法中的一处冗余。”我指向他作业本的第三页，“这里，你用了柯西-施瓦茨不等式，得到了一个上界。但事实上，可以直接用积分第二中值定理得到更紧的界，从而省略后面三个不等式。你之所以没这么做，可能是因为你对积分第二中值定理在含参变量积分中的应用不熟悉。”

马克斯盯着自己的作业本，手指收紧。

“此外，”我拿起粉笔，在黑板上快速写下几行，“你的分段点选择在x等于根号下n分之一，这是经验性选择。但最优分段点应该是方程x^2*|f;(ξ_x)|=c的解，其中ξ_x是积分中值点。这需要解一个简单的微分方程，而你跳过了这一步，直接用了经验值。这导致你的最终误差界比最优界大了约30%。”

助教走过来，看了看黑板，又看了看男生的作业本，然后说：“诺伊曼小姐的分析是正确的。你的解法确实有优化空间。”

马丁一把抓起自己的作业本，塞进书包，头也不回地离开了教室。其他学生也陆续散去，没人再说话。

助教整理好讲义，走到门口时，回头看了我一眼：“诺伊曼小姐，你很优秀。但在这个环境里，有时候展示优秀也需要技巧。”

下午两点，我准时出现在高频电路实验室门口。带着菲利克斯的担保书，以及我的数学和物理自学笔记。

实验室很大，摆满了各种仪器：示波器、信号发生器、频谱分析仪、成排的真空管和电容电感。空气中有松香和金属的味道。

克劳斯教授站在一个工作台前，正在调试一台多频信号发生器。他抬头看了我一眼：“准时。很好。担保书带了吗？”

我递过去。他快速扫了一眼，哼了一声：“冯·福克斯家的孩子。我认识他父亲，一个精明的实业家。”他把担保书放在一边，“那么，测试开始。”

他从工作台上拿起一个电路板，上面焊接着电阻、电容和一个真空管。“这是一个简单的射频放大器电路。告诉我它的工作原理，以及如何计算电压增益。”

我仔细观察电路。共阴极结构，输入通过耦合电容接入栅极，输出从阳极取出。我说了思路，而后克劳斯教授要求具体的计算。

我给出了答案。

克劳斯先生点点头，表情没有变化。“如果我想让这个电路在10mhz频率下仍然有良好响应，需要调整什么？”

“需要减小所有杂散电容的影响。使用管座电容小的真空管，缩短引线长度，必要时采用中和电路抵消极间电容反馈。负载电阻上并联一个小电容可以补偿高频滚降，但会引入相位偏移。”

“示波器会用吗？”

“理论上。实际操作需要练习。”

克劳斯先生打开一台示波器的电源，调整旋钮，屏幕上出现了一条水平亮线。“校准信号是1khz方波。调整垂直增益和时基，让屏幕上显示两个完整周期，幅度占屏幕的80%。”

我走到示波器前。旋钮的阻尼感很重，需要用力但又要精确。我调整垂直增益旋钮，让方波幅度适中，然后调节时基旋钮，让两个周期刚好填满屏幕的宽度。

“可以了。”

克劳斯先生检查了一下：“垂直增益1v/div，时基0.5ms/div。正确。最后一个问题。”他从抽屉里拿出一张纸，上面画着一个复杂的多级谐振电路，“分析这个电路。它是什么？有什么用途？”

我凝视着电路图。多个lc谐振回路通过电容耦合，每个回路的谐振频率略有不同。“这是一个带通滤波器组，或者更可能是一个超外差接收机的前端电路。多个谐振回路提供频率选择性，通过调谐可以覆盖不同频段。中间的真空管可能是混频器，将射频信号与本振信号混合，产生中频。”

克劳斯先生终于露出了笑容“正确。这是我在战争期间设计的无线电接收机的一部分，用于监听敌方通讯。你从哪里学的这些？”

“自学。看了很多书，包括您1925年发表的《高频放大器中的稳定性问题》。”

“那篇论文很专业，发行量很小。你在哪里找到的？”

“柏林大学图书馆的工程文献区。我申请了特殊阅览许可。”

克劳斯先生沉默了一会儿，“欢迎加入我的课，诺伊曼小姐。但我必须警告你：我的实验室没有优待。如果你跟不上，我会让你离开。如果你表现出色，我会给你应有的认可。”

“我明白。”

第一次高频电子电路实验课。

克劳斯教授站在讲台前，背后的黑板上画着今天的实验电路图——一个简单的矿石检波接收机。

“今天第一次实验，搭建并调试一个基本的检波接收机。

目标：接收柏林本地中波广播电台的信号，并用耳机监听。

实验报告要求：完整的电路图、元件参数计算、调试过程记录、以及最终接收到的电台频率和内容。”

克劳斯教授目光扫过实验室。“最多四个人一组，自行分组。”

其他同学立即开始寻找组员，熟悉的拍肩，早已约定很好的点头。

包括我在内，总共有37个学生。无论如何分组，必定有至少一组人数不同，考虑到实验和撰写报告的工作量，大多数人倾向于4人，那么余数为一将导致一个人落单。

考虑到我是唯一一个数学专业的学生，并且还是他们认为“无法胜任实验”的女生，我落单的概率极高。

我注意到有一个小组只有三个人，正在张望寻找第四名组员。

当我走近时，他们的谈话戛然而止。

”我们能谈谈分组的事情吗？“

一个人避开我的目光，看向旁边的同学，“理查德......”

理查德耸耸肩“抱歉，诺伊曼小姐，我们想确保今天能完成实验。我们三个人应该足够了，如果再加一个人，协作方面的压力可能变大...”

”我明白了“我转身走开。

我走向克劳斯教授。

“教授，我找不到小组。”

“没人愿意和你一组？按规定，实验必须分组完成，如果你选择了这门课，就必须适应团队合作，工程不是单打独斗的领域。“